Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：当A不等于B时，根据正弦定理化简已知等式的右边，然后和差化积后，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，两边同时除以tan

A-B

2

，得到tan

A+B

2

的值，由A和B都为三角形的内角，得到A+B为直角，从而得到三角形为直角三角形；若A=B，根据“等角对等边”得到a=b，显然已知等式成立，此时三角形为等腰三角形，综上，三角形ABC的形状为直角三角形或等腰三角形．

解答： 解：当A≠B时，根据正弦定理得：

a-b

a+b

=

sinA-sinB

sinA+sinB

=

2cos A+B 2 sin A-B 2

2sin A+B 2 cos A-B 2

=

tan A-B 2

tan A+B 2

，
∵tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，
∴tan

A+B

2

=1，又A和B都为三角形的内角，
∴

A+B

2

=

π

4

，
解得A+B=

π

2

，即C=

π

2

，
则△ABC为直角三角形；
当A=B时，a=b，tan

A-B

2

=0显然成立，
则△ABC为等腰三角形，
综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，和差化积公式，同角三角函数间的基本关系，等腰三角形的判定的以及特殊角的三角函数值，根据A与B相等与不相等两种情况分类讨论，进而得出三角形的形状．由三角函数的恒等变形化简已知的等式得到tan

A+B

2

的值是解本题的关键．