Question

设函数f（x）=

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x³+ax²-3a²x+2a-1（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+4x+9a³+7，且对任意实数x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a）（a＞0）．由a＞0，可知a＞-3a．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调区间．
（II）对任意实数x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）_max＜g（x）_min．分别利用导数和二次函数研究其单调性极值最值即可．

解答： 解：（I）f′（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a）（a＞0）．
∵a＞0，∴a＞-3a．
令f′（x）＞0，解得x＞a或x＜-3a；令f′（x）＜0，解得-3a＜x＜a．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3a），（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-3a，a）．
（II）对任意实数x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）_max＜g（x）_min．
由（I）可知：f（x）在区间（-∞，-3a）单调递增；在区间（-3a，a）上单调递减．
∴f（x）_max=f（-3a）=-9a³+9a³+9a³+2a-1=9a³+2a-1．
g（x）=（x+2）²+9a³+3≥9a³+3，∴当x=-2时，g(x)min=9a3+3．
∴9a³+2a-1≤9a²+3，又a＞0，解得0＜a≤2．
∴a的取值范围是（0，2]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．