Question

已知函数f（x）=

ax

1+x2

（a＞0）的图象为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线C的切线的斜率k的最小值为-1，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（2）根据曲线C的切线的斜率k的最小值为-1，得到f'（x）≥-1，利用二次函数的图象和性质即可求实数a的值．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=

a(1+x2)-2ax2

(1+x2)2

=

a(1-x2)

(1+x2)2

，
∵a＞0，
∴由f′（x）＜0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减，
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
即函数的增区间为（-1，1），减区间为（1，+∞），（-∞，-1）．
（2）若曲线C的切线的斜率k的最小值为-1，
即f′（x）≥-1，
∴a（1-x²）≥-（1+x²）²，
则a（1-x²）+（1+x²）²≥0，
设g（x）=a（1-x²）+（1+x²）²
=x⁴+（2-a）x²+1+a
=（x²+1-

a

2

）²+1+a-（1-

a

2

）²，
=（x²+1-

a

2

）²+2a-

a2

4

，
则g（x）的最小值为0，
∴2a-

a2

4

=0，
即a=0或a=8，
∵a＞0，
∴a=8．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查导数的应用，综合性较强，难度较大．