Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点．
（1）求椭圆的离心率
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆的方程

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，再利用c=

a2-b2

可得c，利用椭圆的离心率e=

c

a

即可得出；
（2）F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由椭圆的方程

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，∴c=

a2-b2

=

3

，∴椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

．
（2）F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴

PF1

•

PF2

═(-

3

-2cosθ，-sinθ)•(

3

-2cosθ，-sinθ)=4cos²θ-3+sin²θ=3cos²θ-2，
∵0≤cos²θ≤1，
∴-2≤3cos²θ-2≤1．
即

PF1

•

PF2

的最大值与最小值分别是1，-2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．