Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点，P是椭圆上一点．
（1）写出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，长轴长，短轴长和离心率；
（2）求△PF₁F₂的周长；
（3）若∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面积；
（4）若PF₁⊥PF₂，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆的简单性质求解．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点，
∴a=5，b=3，c=

25-9

=4，
∴椭圆的焦点坐标F₁（-4，0），F₂（4，0），
顶点坐标A₁（-5，0），A₂（5，0），B₁（0，-3），B₂（0，3），
长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e=

c

a

=

4

5

．
（2）∵P是椭圆上一点，
∴△PF₁F₂的周长L=2a+2c=18．
（3）∵∠F₁PF₂=60°，
∴△PF₁F₂的面积S=b²tan60°=9×

3

=9

3

．
（4）PF₁⊥PF₂，设点P的坐标（x₀，y₀），
则S△PF1F2=b²tan90°=

1

2

•2c•|y0|，
∴9=4|y₀|，解得|y₀|=

9

4

，
∴|x₀|=

5 7

4

．
∴P（-

5 7

4

，-

9

4

），或P（-

5 7

4

，

9

4

），或P（

5 7

4

，

9

4

），或P（

5 7

4

，-

9

4

）．

点评：本题考查椭圆的焦点坐标，顶点坐标，长轴长，短轴长和离心率的求法，考查三角形的周长和面积的求法，考查点的坐标的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的灵活运用．