Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1．且对于任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．则sinθ等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义将不等式恒成立进行转化，利用判别式△的关系进行求解即可．

解答 解：∵不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，
∴不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²恒成立，
即|$\overrightarrow{a}$|²+x²|$\overrightarrow{b}$|²+2x|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$cosθ≥|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ，
则x²+2$\sqrt{3}$xcosθ≥1+2$\sqrt{3}$cosθ，
即x²+2$\sqrt{3}$xcosθ-（1+2$\sqrt{3}$cosθ）≥0恒成立，
则判别式△=12cos²θ+4（1+2$\sqrt{3}$cosθ）≤0，
即（$\sqrt{3}$cosθ+1）²≤0，
则$\sqrt{3}$cosθ+1=0，则cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sinθ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．