Question

6．已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上的点，M，N是平面上两点，若$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，且直线MN经过△ABC的外心，则$|\overrightarrow{BP}|$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 建立坐标系，利用坐标法将直角三角形放入坐标系中，根据$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，得到A是PM的中点，以及PQ⊥BC，结合三角形的长度关系转化为点到直线的距离进行求解即可．

解答 解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中，
若$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，则$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MA}$，
即A是PM的中点，
∵直线MN经过△ABC的外心，
∴直线MN经过BC的中点E，
∵（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即PQ⊥BC，AE⊥BC，
则PN∥AE，PN=2AE=2×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，
∴PN=3PQ=3$\sqrt{2}$，
即PQ=$\sqrt{2}$，
直线BC的方程为x+y-3=0，
设P（0，m），0＜m＜3，
则PQ=$\frac{|m-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即|m-3|=2，
则m=1或m=5（舍），
即P（0，1），则$|\overrightarrow{BP}|$=|BP|=2，
故选：D．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用坐标法结合数形结合，条件中点坐标公式以及直线垂直的条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．