Question

16．将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则下列直线中是函数f（x）图象的对称轴的是（　　）

• A． x=-$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{π}{3}$
• C． x=-$\frac{5π}{12}$
• D． x=$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求变换后的图象对应的解析式为y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ），由图象关于坐标原点对称，可得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，从而可求f（x）的对称轴方程为x=（m-k）π-$\frac{π}{6}$，m，k∈Z，进而得解．

解答 解：将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），
可得函数的解析式为y=cos（2x+φ），
再将所得的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到的图象对应的解析式为：y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
∵所得的图象关于坐标原点对称，
∴y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴f（x）=cos（x+kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z．
∴x+kπ+$\frac{π}{6}$=mπ，m∈Z，解得：x=（m-k）π-$\frac{π}{6}$，m，k∈Z，
∴当m=k时，x=-$\frac{π}{6}$是f（x）的一条对称轴．
故选：A．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了余弦函数的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．