Question

14．某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；
（Ⅱ）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数．
（Ⅱ）依题意，成绩在[50，60）的学生数为2人，成绩在[60，80）的学生数为10人，ξ可取的值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：众数为85．
平均数为：55×$\frac{2}{30}+65×\frac{4}{30}+75×\frac{6}{30}+85×\frac{10}{30}+95×\frac{8}{30}$=81，
∴该班学生英语成绩的平均数为81．
设中位数为x，由频率分布直方图，得：
[50，80）内的频率为（$\frac{2}{300}+\frac{4}{300}+\frac{6}{300}$）×10=0.4，[80，90）内的频率为$\frac{10}{300}×10$=$\frac{1}{3}$，
∴中位数x=80+$\frac{0.5-0.4}{\frac{1}{3}}×10$=83．
（Ⅱ）依题意，成绩在[50，60）的学生数为30×$（\frac{2}{300}×10）=2$，
成绩在[60，80）的学生数为30×$（\frac{4}{300}×10+\frac{6}{300}×10）$=10，
∴成绩低于80分的学生总人数为 12，
∴ξ可取的值为2，3，4，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{66}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{20}{66}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{45}{66}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{66}$	$\frac{20}{66}$	$\frac{45}{66}$

∴ξ的数学期望E（ξ）=2×$\frac{1}{66}+3×\frac{20}{66}+4×\frac{45}{66}$=$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．