Question

如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求证：AC⊥FB
（2）求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明AD⊥FC，然后证明FC⊥平面ABCD，推出AC⊥平面FCB，利用直线与平面垂直的性质定理证明AC⊥FB；
（2）利用几何体的体积V=V_E-ABCD+V_B-CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．

解答： 解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…2分
∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D，∴FC⊥平面ABCD
∴FC⊥AC…4分
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴AC=2

2

，BC=2

2

则有AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，
∴AC⊥FB…6分
（2）连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，

易见BN⊥平面CDEF，且BN=2．…8分
∵V_EF-ABCD=V_E-ABCD+V_B-ECF…9分
=

1

3

S△ABCD•DE+

1

3

S△EFC•BN=

16

3

…11分
∴几何体EF-ABCD的体积为

16

3

…12分

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与直线的垂直，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．