Question

16．已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ），ω＞0，0≤ϕ≤π是R上的偶函数，且最小正周期为π
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五点法”作出函数f（x）的一个周期内的图象；
（3）求g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）的对称轴及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是R上的偶函数得出φ的值，再根据f（x）的最小正周期求出ω的值即可；
（2）通过列表、描点、连线，即可画出函数f（x）一个周期内的图象；
（3）求出g（x）的解析式，根据余弦函数的图象与性质求出g（x）图象的对称轴与单调增区间即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，0≤φ≤π是R上的偶函数，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
又f（x）的最小正周期为π，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x；
（2）列表如下：

2x	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$	π
f（x）	2	0	-2	0	2

用“五点法”作出函数f（x）=2cos2x的一个周期内的图象，如图所示；

（3）g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴函数g（x）图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴函数g（x）的单调递增区间是[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了“五点法”画图问题，是综合性题目．