Question

【题目】已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.

（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；

（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为

【解析】试题分析：（1）由题意知，得出抛物线的方程，由，得出，，根据，得，由此能求出点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立方程组，设两个交点，由得，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为.

试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为

∵

∴

∴

（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为

联立方程组

设两个交点，由，整理得，此时，恒成立.故直线的方程可设为从而直线过定点.

又∵

∴的面积

∴当时有最小值，此时直线的方程为.