【题目】(1)求函数的零点个数;
(2)证明:当,函数
有最小值,设
的最小值为
,求函数
的值域.
【答案】(1) 1;(2).
【解析】试题分析:(1)研究函数的单调性,由零点存在性定理,即可判断函数
的零点个数;(2)
,由(1)知,
在
时单调递增,因此,存在唯一
,使得
,因此
在
处取得最小值
.
, 于是
,进而求值域即可.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,且
,
令,得
,
当时,
,
在区间
内单调递减;
当时,
,
在区间
内单调递增;
故.
因为,当
时,
,即
,
所以函数在区间
内无零点.
因为,
,
又在区间
内单调递增,
根据零点存在性定理,得
函数在区间
内有且只有一个零点.
综上,当时,函数
在
的零点个数为1.
(2),
则,由(1)知,
在
时单调递增,
对任意,
,
,
因此,存在唯一,使得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
因此在
处取得最小值
.
,
,
于是,
由,
得在
单调递减,
所以,由,得
,
,
因为单调递减,
对任意,存在唯一的
,
,使得
,
所以的值域是
.
综上,当,函数
有最小值.
的值域是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,已知直线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为
,直线
与曲线
的交点为
,
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为抛物线
的焦点,点
为其上一点,
与
关于
轴对称,直线
与抛物线交于异于
的
两点,
,
.
(1)求抛物线的标准方程和点的坐标;
(2)判断是否存在这样的直线,使得
的面积最小.若存在,求出直线
的方程和
面积的最小值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂直,,
,
,BC=6.
(1)证明:平面ADC平面ADB;
(2)求二面角A—CD—B平面角的正切值.
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