Question

17．△ABC中，若动点D满足${\overrightarrow{CA}$²-${\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，则点D的轨迹一定通过△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 垂心
• D． 重心

Answer 1

分析 可取AB的中点为E，从而由${\overrightarrow{CA}}^{2}-{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=0$即可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}=0$，从而得出ED⊥AB，这样便可得出点D的轨迹为AB的垂直平分线，而△ABC的外心在AB的垂直平分线上，从而得出点D的轨迹过△ABC的外心．

解答 解：如图，取AB中点E，则：

${\overrightarrow{CA}}^{2}-{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$2\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$2\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CE}）$
=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}$
=0；
∴AB⊥ED；
即点D在AB的垂直平分线上；
∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．
故选A．

点评 考查向量数量积的运算，向量加法的平行四边形法则，以及向量减法的几何意义，三角形外心的定义，向量垂直的充要条件．