Question

6．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=5，那么2${\;}^{{a}_{1}}$+2${\;}^{{a}_{5}}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和，S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5，即a₁+a₅=2，根据基本不等式的性质知${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{5}}$≥${2}^{{a}_{1}}$•${2}^{{a}_{5}}$=${2}^{{a}_{1}+{a}_{5}}$=2²=4，即可求得${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{5}}$的最小值4．

解答 解：由等差数列的前n项和公式S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5，即a₁+a₅=2，
由${2}^{{a}_{1}}$＞0，${2}^{{a}_{5}}$＞0
${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{5}}$≥${2}^{{a}_{1}}$•${2}^{{a}_{5}}$=${2}^{{a}_{1}+{a}_{5}}$=2²=4，
当且仅当${2}^{{a}_{1}}$=${2}^{{a}_{5}}$，即a₁=a₅=1，取“=”，
∴${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{5}}$的最小值4，
故选：A．

点评 本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．