Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$+x，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用单调性定义证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性定义证明f（x）的单调性；
（2）根据函数的增减性来求特定区间上的最值问题；

解答 解：（1）证明：设任意变量x₁，x₂且3＜x₁＜x₂＜5
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{x_1}+{x_1}-\frac{1}{x_2}-{x_2}$
=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+{x}_{1}-{x}_{2}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵3＜x₁＜x₂＜5
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）为x∈[3，5]增函数．
（2）由（1）知函数f（x）为x∈[3，5]增函数；
∴$f{（x）_{max}}=\frac{26}{5}，f{（x）_{min}}=\frac{10}{3}$

点评 本题主要考查了函数单调性的定义，以及函数特定区间上的最值问题，属基础题．