Question

10．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的四个顶点所在球的体积为（　　）

• A． $\frac{125}{12}π$
• B． $\frac{125}{9}π$
• C． $\frac{125}{6}π$
• D． $\frac{125}{3}π$

Answer 1

分析 因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积．

解答 解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
∴球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，
即球半径r=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
则V_球=$\frac{4}{3}π×（\frac{5}{2}）^{3}$=$\frac{125π}{6}$．
故选：C．

点评 解决该试题的关键是理解对折后的图形中球心的位置，同时要利用直二面角得到各边长，分析一个三角形的外接圆的圆心是突破口，进而得到．