Question

20．设函数f（x）=x³+ax²+bx-1，若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为直线12x+y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若y=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得切点（1，-12），斜率k=-12，求出f'（x）=3x²+2ax+b，由导数的几何意义列出方程组，能求出a，b．
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²-9x-1，得f'（x）=3（x-3）（x+1），利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由函数的单调区间能求出函数极大值为f（-1）=4，极小值为f（3）=-28，要使得y=f（x）-m有三个零点，则曲线y=f（x）与直线y=m有三个不同交点，由此能求出实数m的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x³+ax²+bx-1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为直线12x+y=0，
∴由已知得切点（1，-12），斜率k=-12
∵f（x）=x³+ax²+bx-1，∴f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=3+2a+b=-12}\\{f（1）=1+a+b-1=-12}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-9}\end{array}}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，b=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）…（5分）
令f'（x）＞0，即3（x-3）（x+1）＞0，得x＞3或x＜-1，
令f'（x）＜0，即3（x-3）（x+1）＜0，得-1＜x＜3…（7分）
故f（x）的单调增区间是[-∞，-1]，[3，+∞]；单调减区间为（-1，3）…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）函数极大值为f（-1）=4，极小值为f（3）=-28…（10分）
要使得y=f（x）-m有三个零点，则曲线y=f（x）与直线y=m有三个不同交点．
所以实数m的取值范围为（-28，4）．…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查函数单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数的单调性、极值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．