Question

8．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（{x+\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）+sin2x+a$的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简f（x），根据正弦函数的单调性列出不等式得出f（x）的单调区间；
（2）求出g（x）的解析式，根据x的范围和正弦函数的性质得出g（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x+a=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（x）的最大值为1，∴2+a=1，即a=-1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
∴g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-1=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$时，g（x）取得最小值-3，
∴当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，g（x）取得最大值$\sqrt{3}$-1．
∴g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的取值范围是[-3，$\sqrt{3}$-1]．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，函数图象变换，属于中档题．