Question

18．已知S_n为正项等比数列{a_n}的前n项和，且S₂=4，S₃=13．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{2n-1}的前n项和，比较2S₁₀与T₂₄₃的大小
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$，求证：b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由S₂=4，S₃=13．可得a₃=S₃-S₂=9，S₂=$\frac{9}{{q}^{2}}$+$\frac{9}{q}$=4，解得q．即可得出．
（2）T_n=n²．由（1）可得：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．即可比较出2S₁₀与T₂₄₃的大小关系．
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{3}^{n}-{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$，利用裂项求和方法与数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵S₂=4，S₃=13．
∴a₃=S₃-S₂=13-4=9，∴S₂=$\frac{9}{{q}^{2}}$+$\frac{9}{q}$=4，化为：4q²-9q-9=0，q＞0，解得q=3．
∴a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=9×3^n-3=3^n-1．
（2）解：T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
由（1）可得：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
∴S₁₀=$\frac{1}{2}（{3}^{10}-1）$．
T₂₄₃=243²=3¹⁰．
∴2S₁₀=3¹⁰-1＜3¹⁰=T₂₄₃．
∴2S₁₀＜T₂₄₃．
（3）证明：b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{3}^{n}-{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3+1}）$+$（\frac{1}{3+1}-\frac{1}{{3}^{2}+1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．