Question

13．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了制定合理的节水方案，对居民用水进行了调查，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）估计居民月均用水量的中位数；
（Ⅲ）若居民用水量小于0.5吨，将被授予“节水达人”称号，在[0，0.5）、[4，4.5]两组种任选两人，求至少有一位“节水达人”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率之和为1，列方程求出a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图中，中位数两边频率相等，求出中位数的值；
（Ⅲ）计算月均用水量低于0.5吨和在[4，4.5）之间的人数，
求出从这6人中取出2人的基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（Ⅰ）由频率统计相关知识，各组频率之和为1，
∴0.5×（0.08+0.16+a+0.4+0.52+a+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.8；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，
（0.08+0.16+0.30+0.40）×0.5=0.47＜0.5，
0.47+0.52×0.5=0.73＞0.5，
∴中位数在[2，2.5）内，设为x，
则（x-2）×0.52+0.47=0.5，
解得x≈2.06，
估计全市月均用水量的中位数是2.06吨．
（Ⅲ）月均用水量低于0.5吨的人数为100×0.08×0.5=4人，
月均用水量在[4，4.5）之间有100×0.04×0.5=2人，
从这6人中取出2人，
共有${C}_{6}^{2}$=15种不同取法，
都在[4，4.5）的取法是${C}_{2}^{2}$=1种，
故至少有一位“节水达人”的概率为
P=1-$\frac{1}{15}$=$\frac{14}{15}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概率的计算问题，是基础题．