Question

3．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意过点A（0，1）且斜率为k的直线的方程为y=kx+1，代入圆C的方程得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，利用根的差别式能求出实数k的取值范围．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\overrightarrow{AM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂，y₂-1），利用韦达定理、向量的数量积能证明$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$为定值．

解答 解：（1）由题意过点A（0，1）且斜率为k的直线的方程为y=kx+1，
代入圆C的方程得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∵直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点．
∴△=[-4（1+k）]²-4×7×（1+k²）＞0，
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}＜k＜\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴实数k的取值范围（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）．
证明：（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\overrightarrow{AM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂，y₂-1），
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}$+2，
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$
=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{7{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=7．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$为定值．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．