Question

10．设P为有公共焦点F₁，F₂的椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点，且PF₁⊥PF₂，椭圆C₁的离心率为e₁，双曲线C₂的离心率为e₂，若e₁=3e₂，则e₁=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²=b₂²，然后结合隐含条件列式求得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，再由e₁=3e₂即可求得e₁．

解答 解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，
$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2{a}_{1}}\\{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=c²（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}-1$），
同理可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₂²，
∵e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$，∴a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$，
∴b₂²=c²-a₂²=c²（1-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$），
∴c²（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-1）=c²（1-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$），
即$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，
∵e₁=3e₂，
∴e₁=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．