Question

3．已知乘法公式：
a⁵+b⁵=（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）；
a⁵-b⁵=（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）．
利用或者不利用上述公式，将下列分解因式：x⁸+x⁶+x⁴+x²+1．

Answer 1

分析 根据乘法公式，可知x¹⁰-1=（x⁵）²-1=（x²）⁵-1=（x²-1）（x⁸+x⁶+x⁴+x²+1），则有x⁸+x⁶+x⁴+x²+1=$\frac{{x}^{10}-1}{{x}^{2}-1}$，再根据平方差公式和题中给出的乘法公式分解因式即可．

解答 解：x¹⁰-1=（x⁵）²-1=（x²）⁵-1=（x²-1）（x⁸+x⁶+x⁴+x²+1），
则有x⁸+x⁶+x⁴+x²+1=$\frac{{x}^{10}-1}{{x}^{2}-1}$=$\frac{（{x}^{5}+1）（{x}^{5}-1）}{（x+1）（x-1）}$=（x⁴+x³+x²+x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）．

点评 本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键．