Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1，数列{b_n}满足b_n+log₂a_n=0，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n（n≥2），求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，
两式相减得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0  （n≥2），
又由S_n-S_n-1=a_n，
可得a_n=

1

2

a_n-1  （n≥2），
根据s₁+a₁=2a₁=1，
得a₁=

1

2

，
所以a_n=

1

2n

；
（2）∵b_n+log₂a_n=0，a_n=

1

2n

，
∴b_n=-log₂a_n=log

1

2

(

1

2

)n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查数列通项公式及数列前n项和的求法---公式法及裂项法，属中档题．