Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的点，点P关于x轴对称的点记为M，设．

(1)写出曲线C的方程；

(2)若，试用λ表示u；

(3)若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)抛物线的方程是y2＝4x　2分 　　(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1) 　　∵，∴ 　　∴y12＝λ2y22，又y12＝4x1，y22＝4x2， 　　∴x1＝λ2x2代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ 　　∴λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1　∴　5分 　　则＝(x1―1，―y1)＝(λ―1，―λy2)＝―λ(―1，y2) 　　＝―λ(x2―1，y2)＝－λ 　　即，故u＝－λ　8分 　　(3)由③、④知x1x2＝1，∴y12y22＝16x1x2＝16，又y1y2＞0， 　　∴y1y2＝4　10分 　　∴|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x12＋x22＋y12＋y22－2(x1x2＋y1y2) 　　＝λ2＋＋4(λ＋)－10＝(λ＋)2＋4(λ＋)－12 　　＝(λ＋＋2)2－16　12分 　　又2≤λ≤3，∴≤λ＋≤ 　　∴≤|PQ|2≤ 　　所以≤|PQ|≤　14分