Question

4．在1，2，3，4，5，6这6个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）设ξ为这3个数中最大数与最小数的差（例如：若取出的数为1，2，4，此时ξ等于3）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是满足条件的事件是至少有一个是偶数，20-1=19种结果，得到概率．
（2）写出随机变量的所有取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出数学期望Eξ．

解答 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是从6个数字中任取3个，共有C₆³=20种结果，
满足条件的事件是至少有一个是偶数，20-1=19种结果，
记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，
∴P（A）=$\frac{19}{20}$，
即3个数中至少有1个是偶数的概率是$\frac{19}{20}$．
（2）ξ的取值为2，3，4，5，则
ξ=2时，所取数为123，234，345，456，概率为$\frac{1}{5}$；ξ=3时，所取数为124，134，235，245，346，356，概率为$\frac{3}{10}$；
ξ=4时，所取数为125，135，145，236，246，256，概率为$\frac{1}{5}$；ξ=5时，所取数为126，136，146，156，概率为$\frac{3}{10}$
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$

Eξ=2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{3}{10}$+4×$\frac{1}{5}$+5×$\frac{3}{10}$=3.6．

点评 利用古典概型求事件的概率要求出事件包含的基本事件的个数，常用的求法有：列举法、列表法、排列组合的方法、树状图法；求随机变量的分布列应该求出随机变量取每一个值的概率值．