Question

5．已知数列{b_n}中，b₁=0，b_n+1=3b_n+2（n∈N^•），数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n-1=b_n．
（1）求a_n；
（2）求数列{$\frac{{3}^{n}}{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$}的前n（n∈N^•）项的和；
（3）数列{na_n}的前n项和T_n，求T_n-（n-$\frac{1}{2}$）•3^n-1．

Answer 1

分析 （1）由b_n+1=3b_n+2（n∈N^•），变形为b_n+1+1=3（b_n+1），利用等比数列的通项公式可得b_n，于是S_n=b_n+1，利用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．
（2）$\frac{{3}^{n}}{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．利用“裂项求和”即可得出．
（3）na_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由b_n+1=3b_n+2（n∈N^•），变形为b_n+1+1=3（b_n+1），
∴数列{b_n+1}是等比数列，首项为1，公比为3．
∴b_n+1=3^n-1，
∴b_n=3^n-1-1，
∴S_n=b_n+1=3^n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1-3^n-2=2×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$\frac{{3}^{n}}{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．
∴数列{$\frac{{3}^{n}}{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$}的前n（n∈N^•）项的和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．
（3）na_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
当n=1时，T₁=1．
当n≥2时，T_n=1+2（2+3×3+4×3²+…+n×3^n-2），
∴3T_n=3+2[2×3+3×3²+…+（n-1）×3^n-2+n×3^n-1]，
∴-2T_n=-2+2（2+3+3²+…+3^n-2-n×3^n-1），
∴T_n=1-$（1+\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}-n×{3}^{n-1}）$=$\frac{（2n-1）•{3}^{n-1}+1}{2}$．
当n=1时，上式也成立．
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n-1}+1}{2}$．
∴T_n-（n-$\frac{1}{2}$）•3^n-1=$\frac{（2n-1）•{3}^{n-1}+1}{2}$-$\frac{（2n-1）•{3}^{n-1}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．