Question

19．已知球O的一个内接三棱锥P-ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 过O作平面ABC的垂线OM，则M为△ABC的中心，利用勾股定理计算出OM，则P到平面ABC的距离为2OM，再代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：过球心O作OM⊥平面ABC，垂足为M，连接OM．
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴M为△ABC的中心，
∴CM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵O是PC的中点，∴P到平面ABC的距离d=2OM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．