Question

14．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=$\sqrt{3}$，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（1）若C=$\frac{π}{4}$，求cosA；
（2）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S²+T²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接BD，在三角形BCD与三角形ABD中，分别利用余弦定理表示出BD²，将C的度数代入求出cosA的值即可；
（2）利用三角形面积公式表示出S与T，进而表示出S²+T²，利用同角三角函数间的基本关系及二次函数性质求出范围即可．

解答 解：（1）连接BD，由余弦定理得：
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2•BC•CDcosC=4-2$\sqrt{3}$cosC，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2-2cosA，
∴4-2$\sqrt{3}$cosC=2-2cosA，即cosA=$\sqrt{3}$cosC-1，
∵C=$\frac{π}{4}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$BC•CD•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，T=$\frac{1}{2}$AB•ADsinA=$\frac{1}{2}$sinA，
∴S²+T²=$\frac{3}{4}$sin²C+$\frac{1}{4}$sin²A=$\frac{3}{4}$（1-cos²C）+$\frac{1}{4}$（1-cos²A）
由余弦定理可得BD²=1+1-2cosA=1+3-2$\sqrt{3}$cosC，
可得cosA=$\sqrt{3}$cosC-1，
∴S²+T²=-$\frac{3}{2}$cos²C+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$（cosC-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，
由题意易知，C∈（30⁰，90⁰），
∴cosC∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴S²+T²∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二次函数性质，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．