Question

9．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 根据题意可知C在线段AB上，从而得出|$\overrightarrow{OC}$|的范围，用$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$，代入数量积公式得出关于|$\overrightarrow{OC}$|的式子，根据|$\overrightarrow{OC}$|的范围得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，
∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．
∵OA=OB=1，∠AOB=120°，
∴O到直线AB的距离d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}≤$|$\overrightarrow{OC}$|＜1．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）$•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∵MN是单位圆O的直径，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-1+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$＜0．
则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为-$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量线性运算的性质与几何意义，利用数形结合以及转化法是解决本题的关键．属于中档题．本题也可以使用坐标法进行求解．