Question

经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足f(t)=100(1+

1

t

)，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）=

100+t(1≤t＜25，t∈N) 150-t(25≤t≤30，t∈N)

．
（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用W（t）=g（t）f（t），结合已知解析式，可得分段函数；
（2）利用（1）中函数，分类讨论，根据函数的单调性，可得日销售金额W（t）的最大值与最小值．

解答： 解：（1）当1≤t＜25时，W(t)=g(t)f(t)=100(100+t)(1+

1

t

)=100(t+

100

t

+101)；
当25≤t≤30时，W(t)=g(t)f(t)=100(150-t)(1+

1

t

)=100(

150

t

-t+149)；
所以W(t)=

100(t+ 100 t +101)(1≤t＜25) 100( 150 t -t+149)(25≤t≤30)

（t∈N）…（6分）
（2）（i）当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知W(t)=100(t+

100

t

+101)在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，
因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，
所以当t=10时，W（t）最小值为12100，当t=1时，W（t）最大值为20200；…（9分）
（ii）当25≤t≤30时，W(t)=100(

150

t

-t+149)，y=

150

t

和y=-t在[25，30]单减，则
W（t）在区间[25，30]单减，W（t）_max=W（25）=13000，W（t）_min=W（30）=12400；…（11分）
综上，当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100…（13分）．

点评：本题考查函数模型的运用，考查函数的最值，考查学生利用数学知识解决实际问题，确定函数模型是关键．