Question

11．已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若点P的坐标为（1，$\frac{1}{2}$），求切线PA，PB方程；
（2）求四边形PAMB面积的最小值；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．

Answer 1

分析 （1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，当切线斜率存在时，设直线方程为$y=k（x-1）+\frac{1}{2}$，由直线和圆相切，求出$k=-\frac{5}{12}$，由此能求出切线PA，PB方程．
（2）${S_{四边形PAMB}}=2×\frac{1}{2}×PA×MA=PA=\sqrt{P{M^2}-1}$，当PM最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形PAMB面积的最小值．
（3）设点P（${x}_{0}，\frac{1}{2}{x}_{0}$），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，由此能求出定点坐标．

解答 解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1…（2分）
当切线斜率存在时，设直线方程为$y=k（x-1）+\frac{1}{2}$，
因为直线和圆相切，所以$d=\frac{{|{k+\frac{3}{2}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{5}{12}$，
此时直线方程为y=-$\frac{5}{12}$（x-1）+$\frac{1}{2}$，即5x+12y-11=0，
所以切线PA，PB方程x=1，5x+12y-11=0．…（4分）
（2）${S_{四边形PAMB}}=2×\frac{1}{2}×PA×MA=PA=\sqrt{P{M^2}-1}$…（6分）
故当PM最小时，四边形面积最小．而$PM≥\frac{{|{0-4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$
所以四边形PAMB面积的最小值${S_{min}}=\frac{{\sqrt{55}}}{5}$…（10分）
证明：（3）设点P（${x}_{0}，\frac{1}{2}{x}_{0}$），M（0，2），
过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆
即（$\frac{{x}_{0}}{2}$）²+（$\frac{\frac{1}{2}{x}_{0}+2}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（\frac{1}{2}{x}_{0}-2）^{2}}}{2}$）²，…（12分）
所以${x^2}-{x_0}x+{y^2}-（\frac{1}{2}{x_0}+2）y+{x_0}=0$，
从而$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2y=0\\-x-\frac{1}{2}y+1=0\end{array}\right.$，
解得定点坐标为（0，2）或（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）．…（16分）

点评 本题考查圆的切线方程、直线方程、四边形面积的求法，涉及到圆、直线方程、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．