Question

16．如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为$\frac{π}{2}$、$\frac{2π}{3}$的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（$\frac{2π}{3}$）互为相反数求出φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-sin2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），设g（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，画出函数g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，
∴B点的横坐标为$\frac{0+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{3}$；
又点C与点D关于直线x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$对称，
∴f（x）的最小正周期T满足$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
解得T=π，即ω=$\frac{2π}{T}$=2；
又f（0）=sinφ，
f（$\frac{2π}{3}$）=sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-sin（$\frac{π}{3}$+φ）=-sinφ，且0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+$\frac{π}{3}$）=k+sin2x，
∴k=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-sin2x=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
设g（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
则2x∈[$\frac{π}{6}$，π]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
画出函数g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的图象，如图所示；

根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，
∴实数k应满足-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k≤$\frac{1}{2}$或k=-1．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程以及数形结合的思想方法，是综合题．