Question

1．已知f（x）是R上的可导函数，其导函数为f'（x），若对任意实数x，都有f（x）＞f'（x），且f（x）-1为奇函数，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，e⁴）
• C． （e⁴，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断g（x）的单调性，根据单调性得出g（x）＜1的解．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）是减函数，
∵f（x）-1为奇函数，∴f（0）-1=0，即f（0）=1，
∴g（0）=1，
∴当x＞0时，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，即f（x）＜e^x，
故选D．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．