【题目】已知正数a,b,c满足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a,clnb≥a+clnc,则 的取值范围是 .
【答案】[e,7]
【解析】解:∵4c﹣a≥b>0
∴ >
,
∵5c﹣3a≤4c﹣a,
∴ ≤2.
从而 ≤2×4﹣1=7,特别当
=7时,第二个不等式成立.等号成立当且仅当a:b:c=1:7:2.
又clnb≥a+clnc,
∴0<a≤cln ,
从而 ≥
,设函数f(x)=
(x>1),
∵f′(x)= ,当0<x<e时,f′(x)<0,当x>e时,f′(x)>0,当x=e时,f′(x)=0,
∴当x=e时,f(x)取到极小值,也是最小值.
∴f(x)min=f(e)= =e.
等号当且仅当 =e,
=e成立.代入第一个不等式知:2≤
=e≤3,不等式成立,从而e可以取得.等号成立当且仅当a:b:c=1:e:1.
从而 的取值范围是[e,7]双闭区间.
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【题目】已知点,
,动点
满足
,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点,点P在第一象限,轴,垂足为H.连结QH并延长交C于点R.
(i)设O到直线QH的距离为d.求d的取值范围;
(ii)求面积的最大值及此时直线l的方程.
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【题目】2017年3月14日,“共享单车”终于来到芜湖,
共享单车又被亲切称作“小黄车”是全球第一个无桩共享单车平台,开创了首个“单车共享”模式.相关部门准备对该项目进行考核,考核的硬性指标是:市民对该项目的满意指数不低于
,否则该项目需进行整改,该部门为了了解市民对该项目的满意程度,随机访问了使用共享单车的
名市民,并根据这
名市民对该项目满意程度的评分(满分
分),绘制了如下频率分布直方图:
(I)为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因,该部门从评分低于分的市民中随机抽取
人进行座谈,求这
人评分恰好都在
的概率;
(II)根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过考核,并说明理由.
(注:满意指数=)
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设,
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.
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【题目】下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程,若变量
增加一个单位时,则
平均增加5个单位;
③线性回归方程所在直线必过
;
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;
⑤在一个列联表中,由计算得
,则其两个变量之间有关系的可能性是
.
其中错误的是________.
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【题目】已知两条直线l1:y=m和l2:y= (m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,
的最小值为( )
A.16
B.8
C.8
D.4
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.
(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为
万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出
的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
【答案】(1);(2)学校应把楼层建成
层,此时平均综合费用为每平方米
万元
【解析】
由已知求出第
层楼房每平方米建筑费用为
万元,得到第
层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高
万元
,然后利用等差数列前
项和求建筑
层楼时的综合费用
;
设楼房每平方米的平均综合费用为
,则
,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为
万元,
且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.
建筑第1层楼房建筑费用为:万元
.
楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元
.
建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:.
;
设该楼房每平方米的平均综合费用为
,
则:,
当且仅当,即
时,上式等号成立.
学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米
万元.
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求
的值域.
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