【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设,
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.
【答案】(1).(2)
.(3) F(m)+F(n)>0.
【解析】
(1)由可得
;然后再根据f(x)≥0恒成立并结合判别式可得a=1,进而可得函数的解析式.(2)由题意可得
,根据函数有单调性可得对称轴与所给区间的关系,从而可得k的取值范围.(3)结合题意可得函数
为奇函数且在R上为增函数,再根据条件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0.
(1)∵,
∴b=a+1.
∵f(x)≥0对任意实数x恒成立,
∴,
解得a=1.
∴f(x)=x2+2x+1.
故.
(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1,
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1.
由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或
,
解得k≤-2或k≥6.
故k的取值范围为.
(3)∵f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴b=0.
又a>0,
∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数.
对于F(x),当x>0时,;
当x<0时,,
∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数,
∴在
上为增函数.
由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0,
则有m>-n>0,
∴,
∴.
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【题目】定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的x,y,有
,f(1)=2,且
.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:对任意x,都有f(x)>0;
(3)解不等式f(32x)>4.
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【题目】若函数h(x)满足
①h(0)=1,h(1)=0;
②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;
③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)= (λ>﹣1,p>0)
(1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;
(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记p= (n∈N+)时h(x)的中介元为xn , 且Sn=
,若对任意的n∈N+ , 都有Sn<
,求λ的取值范围;
(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图象总在直线y=1﹣x的上方,求P的取值范围.
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【题目】如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
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【题目】(本题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为
,
, ,
,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量;
(2)在上述抽取的件产品中任取
件,设
为重量超过
克的产品数量,求
的分布列;
(3)从该流水线上任取件产品,求恰有
件产品的重量超过
克的概率.
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【题目】我国古代著名的数学著作有10部算书,被称为“算经十书”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”; 丁:“丙比乙多”,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )
A. 乙甲丙丁 B. 甲丁乙丙 C. 丙甲丁乙 D. 甲丙乙丁
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