Question

【题目】定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y，有，f(1)＝2,且.

（1）求f(0)的值；

（2）求证：对任意x，都有f(x)>0；

（3）解不等式f(32x)>4．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝1．(2)证明见解析；(3)

【解析】

（1）利用赋值法，先令以及令，由此解得的值.（2）首先利用结合已知条件证得，再利用反证法，证得，由此证得成立.（3）利用赋值法，将转化为，通过证明函数为上的增函数，由求得不等式的解集.

（1）对任意，．

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)1]＝0．

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x成立，

所以f(0)≠0，因此f(0)＝1．

（2）证明：对任意x，有．

假设存在x0，使f(x0)＝0，

则对任意x>0，有f(x)＝f[(xx0)＋x0]＝f(xx0)·f(x0)＝0．

这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．所以，对任意x，均有f(x)>0成立．

（3）令x＝y＝1有f(11)＝f(1)·f(1)，

所以f(2)＝2×2＝4．任取x1，x2，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f[(x2x1)＋x1]f(x1)＝f(x2x1)·f(x1) f(x1)＝f(x1)·[f(x2x1)1]．

∵x1<x2，∴x2x1>0，由已知f(x2x1)>1，∴f(x2x1)1>0．

由（2）知x1，f(x1)>0．所以f(x2)f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)．

故函数f(x)在上是增函数．

由f(32x)>4，得f(32x)>f(2)，即32x>2．解得x<．

所以，不等式的解集是 ．