Question

8．已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x-3平行．
（1）求f（x）在区间[e，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到f′（1）=2，求出m的值，从而求出f（x）递增，得到f（x）的最小值即可；
（2）问题转化为$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立①，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f′（x）=lnx+$\frac{x+m}{x}$结合题意得：
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=1+m=2，
∴m=1，
∵x∈[e，+∞）时，f′（x）=lnx+$\frac{1+x}{x}$＞0，
∴函数f（x）在[e，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（e）=e+1；
（2）对任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，
即$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立①，
当x∈（0，1）知lnx＜0，
a＜0时，$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＞0，不合题意，
a＞0时，①?lnx+$\frac{2a（1-x）}{1+x}$＜0对任意x∈（0，1）恒成立，
记h（x）=lnx+$\frac{2a（1-x）}{1+x}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-2a）x+1}{{x（1+x）}^{2}}$，
记g（x）=x²+2（1-2a）x+1，则方程g（x）=0的根的判别式△=4（1-2a）²-4=16a（a-1），
若a≤1，则△≤0，g（x）≥0，在（0，1]上h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，1]上递增，又h（1）=0，
∴对任意x∈（0，1），h（x）＜0恒成立，
若a＞1，△＞0，由g（0）=1＞0，g（1）=4（1-a）＜0知存在x₀∈（0，1）使得g（x₀）=0，
对任意x∈（x₀，1），g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）在（x₀，1）递减，又h（1）=0，
∴x∈（x₀，1）时，h（x）＞0不合题意，
综上，a∈（0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．