Question

1．（1）已知cos（α-30°）=$\frac{12}{13}$，30°＜α＜90°，求cosα；
（2）已知α、β都是锐角，且cos（α+β）=$\frac{33}{65}$，cosβ=$\frac{5}{13}$，求cosα的值；
（3）已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得 cosα=cos[（α-30°）+30°]的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cosα=cos[（α+β）-β]的值．
（3）利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]的值．

解答 解：（1）∵已知cos（α-30°）=$\frac{12}{13}$，30°＜α＜90°，
∴sin（α-30°）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-30°）}$=$\frac{5}{13}$，
∴cosα=cos[（α-30°）+30°]=cos（α-30°）cos30°-sin（α-30°）•sin30°
=$\frac{12}{13}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{5}{13}$$•\frac{1}{2}$=$\frac{12\sqrt{3}-5}{36}$．
（2）已知α、β都是锐角，且cos（α+β）=$\frac{33}{65}$，cosβ=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{56}{65}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）•cosβ+sin（α+β）•sinβ=$\frac{33}{65}•\frac{5}{13}$+$\frac{56}{65}•\frac{12}{13}$=$\frac{837}{845}$．
（3）∵已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
∵sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，∴α+β为第三象限角，cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）•cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=-$\frac{4}{5}$•$\frac{12}{13}$-（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{5}{13}$=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．