Question

6．已知公差不为零的等差数列{a_n}满足：a₃+a₈=20，且a₅是a₂与a₁₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；
（2）利用裂项法求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃+a₈=20，且a₅是a₂与a₁₄的等比中项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+13d）}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题．