Question

11．已知f（x）=x²e^x，若函数g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （2，$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （$\frac{8}{{e}^{2}}$，2）
• D． （$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 利用导数的性质判断f（x）的单调性和极值，得出方程f（x）=t的根的分布情况，从而得出关于t的方程t²-kt+1=0的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出k的范围．

解答 解：f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，
∴当x＜-2或x＞0时，f′（x）＞0，当-2＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴当x=-2时，函数f（x）取得极大值f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0．
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

令f（x）=t，则当t=0或t＞$\frac{4}{{e}^{2}}$时，关于x的方程f（x）=t只有1解；
当t=$\frac{4}{{e}^{2}}$时，关于x的方程f（x）=t有2解；
当0＜t＜$\frac{4}{{e}^{2}}$时，关于x的方程f（x）=t有3解．
∵g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有四个零点，
∴关于t的方程t²-kt+1=0在（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）上有1解，在（$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）∪{0}上有1解，
显然t=0不是方程t²-kt+1=0的解，
∴关于t的方程t²-kt+1=0在（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）和（$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）上各有1解，
∴$\frac{16}{{e}^{4}}-\frac{4k}{{e}^{2}}+1＜0$，解得k＞$\frac{4}{{e}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{4}$．
故选D．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．