Question

19．如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6$\sqrt{3}$，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．    
（I）求证：AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求三棱锥G-BCE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知通过求解三角形可得AE⊥BD，AE⊥EC，再由线面垂直的判定可得AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）过G作GH∥AE交EC于H，证明GH⊥平面BEC，即可求三棱锥G-BCE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
设BD∩EC=O，∵BC=CD，CO⊥BD，
∴O为BD的中点．
由∠BCD=90°，BC=CD=6，得BD=$6\sqrt{2}$，
∴EC=$6\sqrt{2}$，BO=OD=3$\sqrt{2}$，
又∠ABC=∠CDA=90°，BC=CD=6，AC=$6\sqrt{3}$，得AB=AD=$6\sqrt{2}$，
∴AO⊥BD，且AO=3$\sqrt{6}$，
又BD⊥EC，EC∩AO=O，∴BD⊥平面AEO，则BD⊥AE．
在△AOC中，
∵AO=$3\sqrt{6}$，OC=3$\sqrt{2}$，AC=$6\sqrt{3}$，由余弦定理可得：
$∠AOC=\frac{（3\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}-（6\sqrt{3}）^{2}}{2×3\sqrt{6}×3\sqrt{2}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴cos$∠AOE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，在△AOE中，有$A{E}^{2}=（3\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}-2×3\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=36．
∴AE²+OE²=AO²，则AE⊥EO，
又AE⊥BD，BD∩OE=O，
∴AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）解：过G作GH∥AE交EC于H，
∵CG=2GA，∴GH=$\frac{2}{3}$AE，
∵AE⊥平面BCDE，∴GH⊥平面DEC，AE⊥EC，
在直角三角形AEC中，AE=6，∴GH=4．
∴三棱锥G-BCE的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×6×4=24．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的求法，正确运用直线与平面垂直的判定定理是关键，是中档题．