Question

14．已知直线y=x-1过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点，且椭圆C的离心率为$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）以椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F₂，试判断△PF₂Q的周长是否为定值，若是求出该定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线y=x-1与x轴的交点坐标为（1，0），得椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的半焦距c．又离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，得a²=9，b²=8．即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，利用根与系数的关系、弦长公式表示及直线PQ与圆x²+y²=8相切，表示出PQ，距离公式表示PF₂，QF₂由$|{P{F_2}}|+|{Q{F_2}}|+|{PQ}|=6-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}-\frac{6km}{{8+9{k_2}}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）因为直线y=x-1与x轴的交点坐标为（1，0），由题意得椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的半焦距c=1．
又已知离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，所以a²=9，所以b²=8．
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（Ⅱ）根据题意作出图形如图所示，

设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
所以△=（18km）²-4（8+9k²）（9m²-72）=288（9k²-m²+8）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}$，
所以$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{（\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}）-4×\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4×9×8（9{k^2}-{m^2}+8）}}{{{{（8+9{k^2}）}^2}}}）}$，
因为直线PQ与圆x²+y²=8相切，所以$\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
即$m=\sqrt{8（1+{k^2}）}$，所以$|{PQ}|=-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}$，
因为$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}，0＜{x_1}＜3$，$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，
同理$|{Q{F_2}}|=3-\frac{x_2}{3}$（也可用焦半径公式），
所以$|{P{F_2}}|+|{Q{F_2}}|+|{PQ}|=6-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}-\frac{6km}{{8+9{k_2}}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$
因此，△PF₂Q的周长是定值，且定值为6．

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆与圆的切线的综合问题，同时考查了运算能力，属于难题．