Question

6．已知函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在2个零点x₁，x₂，且x₁，x₂都大于0，则a的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 通过a与0的大小讨论，利用函数f（x）=ax³-3x²+1存在两个正零点，转化为函数的极值与0的关系，然后得到答案．

解答 解：当a=0时，函数f（x）=-3x²+1有且只有两个零点，一个为正，一个为负不满足条件；
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-6x=0，解得：x=0，或x=$\frac{2}{a}$，x=0是极大值点，x=$\frac{2}{a}$是极小值点，
∵f（0）=1≠0，
∴f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$＜0，
解得：a∈（0，2），
当a＜0时，令f′（x）=3ax²-6x=0，解得：x=0，或x=$\frac{2}{a}$，x=0是极小值点，x=$\frac{2}{a}$是极大值点，
∵f（0）=1＞0，函数只有一个零点，不满足题意，
综上，a∈（0，2）．
给答案为：（0，2）．

点评 本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，函数的导数的应用，考查分类讨论思想，难度中档．