Question

4．定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+1，\;\;-1≤x≤1\\-|{x-2}|+1，\;1＜x≤3\end{array}$．若关于x的方程f（x）-ax=0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}）$
• B． $（{\frac{1}{6}，\frac{1}{4}}）$
• C． $（{16-6\sqrt{7}，\frac{1}{6}}）$
• D． $（{\frac{1}{6}，8-2\sqrt{15}}）$

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 在（3，5）上有2个实数根，解得 0＜a＜8-2$\sqrt{15}$．再由方程f（x）=ax 在（5，6）内无解可得6a＞1．由此求得正实数a的取值范围．

解答 解：由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出
函数y=f（x）与函数y=ax的图象，
由图象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 即 x²+（a-8）x+15=0
在（3，5）上有2个实数根，
由$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-8）^{2}-60＞0}\\{9+3（a-8）+15＞0}\\{25+5（a-8）+15＞0}\\{3＜\frac{8-a}{2}＜5}\end{array}\right.$解得 0＜a＜8-2$\sqrt{15}$．
再由方程f（x）=ax 在（5，6）内无解可得6a＞1，a＞$\frac{1}{6}$．
综上可得 $\frac{1}{6}$＜a＜8-2$\sqrt{15}$，
故选 D．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．