Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x+1}}，x≤0\\{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞0\end{array}\right.$则不等式f（x）＞1的解集为$（-1，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 根据题意，由f（x）＞1，变形可得$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x+1}＞1}\\{x≤0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x＞1}\\{x＜0}\end{array}\right.$②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x+1}}，x≤0\\{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞0\end{array}\right.$，
若不等式f（x）＞1，$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x+1}＞1}\\{x≤0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x＞1}\\{x＞0}\end{array}\right.$②，
解①可得：-1＜x≤0，
解②可得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
综合可得：x的取值范围：-1＜x＜$\frac{1}{2}$，
即（x）＞1的解集为（-1，$\frac{1}{2}$）；
故答案为：（-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，注意转化为两个不等式组进行分开求解．