Question

13．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．
（Ⅰ）求证：AD∥MN；
（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；
（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A-l-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后证明平AD∥MN．
（Ⅱ）证明AD⊥CD，结合AD⊥FC，说明AD⊥平面CDEF，然后证明平面ADMN⊥平面CDEF．
（Ⅲ）说明DA，DC，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，不妨设EF=ED=1，求出相关的坐标，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通过向量的数量积求解二面角A-l-B的平面角的大小即可．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]
所以AD∥平面FBC．[（3分）]
又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，
所以AD∥MN．[（4分）]
（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]
因为AD⊥FC，[（6分）]
所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]
所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]
（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面ADE，
所以CD⊥DE．
由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，
所以AD⊥DE．
所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]
建立空间直角坐标系D-xyz．[（10分）]
不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．
由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{CB}$=（a，0，0），$\overrightarrow{CF}$=（0，-1，1）．
设平面FBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{ax=0}\\{-y+z=0}\end{array}}\right.$令z=1，则y=1．
所以$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．[（12分）]
又平面ADE的法向量为$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），所以
$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
因为二面角A-l-B的平面角是锐角，
所以二面角A-l-B的大小45°．[（14分）]

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．