Question

3．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=2，AA₁=h，E为BB₁的中点．
（1）若h=2，请画出该正三棱柱的正（主）视图与左（侧）视图．
（2）求证：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（3）当平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为45°时，求该正三棱柱外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）计算底面三角形的高，得出左视图的边长，再画出三视图即可；
（2）连接AC₁交A₁C于F，取A₁C₁的中点M，连接EF，FM，MB₁，通过证明MB₁⊥平面AA₁C₁C，MB₁∥EF得出EF⊥平面AA₁C₁C，从而有平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（3）建立坐标系，利用向量法求出h，得出外接球的球心坐标，再计算球的半径得出球的体积．

解答 解：（1）∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的高为$\sqrt{3}$，
又h=2，∴正视图为边长为2的正方形，左视图为边长为2和$\sqrt{3}$的矩形，
作出正（主）视图与左（侧）视图如下：

（2）连接AC₁交A₁C于F，取A₁C₁的中点M，连接EF，FM，MB₁，
∵四边形ACC₁A₁是矩形，∴F是AC₁的中点，
又M是A₁C₁的中点，∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，
∵E是BB₁的中点，AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$EB₁，∴四边形EFMB₁是平行四边形，
∴EF∥MB₁，
∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴MB₁⊥A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，MB₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥MB₁，又AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴MB₁⊥平面ACC₁A₁，又MB₁∥EF，
∴EF⊥平面ACC₁A₁，又EF?平面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）以M为原点，以MC₁，MB₁，MF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系M-xyz，如图所示：
则A₁（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，$\frac{h}{2}$），C（1，0，h），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，0，h），
设平面A₁EC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+\frac{1}{2}hz=0}\\{2x+hz=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{h}{2}$，0，1），
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面A₁B₁C₁的一个法向量，
∵平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为45°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{h}^{2}}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴h=2，
∴设△A₁B₁C₁的中心为N，则N（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），
∴正三棱柱外接球的球心为P（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1），
∴外接球的半径r=PA₁=$\sqrt{1+\frac{2}{9}+1}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{160π\sqrt{5}}{81}$．

点评 本题考查了棱柱的三视图，面面垂直的判定定理，棱柱与外接球的位置关系，属于中档题．