Question

【题目】设n为一个正整数，三维空间内的点集S满足下述性质：

（1）.空间内不存在n个平面，使得点集S中的每个点至少在这n个平面中的一个平面上；

（2）.对于每个点，均存在n个平面，使得中的每个点均至少在这n个平面中的一个平面上.

求点集S中点的个数的最小值与最大值.

Answer 1

【答案】最小值为3n+1，最大值为.

【解析】

先求的最小可能值.

由于过任意三点均可以作一个平面，故.

而当3n+1个点中，任意四点不共面时，即满足题设条件.

于是，的最小可能值为3n+1.

接下来求的最大可能值.

对于每一个，

设直线能覆盖.

由题设知.

设.

则为一个三元n次多项式，且，.

于是，在（为次数不超过n的三元多项式的向量空间）中是线性无关的.

因此，.

下面给出集合S中有个点的例子.

如图，设为个点构成的正四面体点阵.

则.

对于每个点，可以用n个平面覆盖.但不能用n个平面覆盖.

综上，集合S中点的个数的最大值为.